设$a,b,c\in R_+,abc=1$证明：

$\sum\frac1{a^3(b+c)}\geq\frac32$

有：

$\sum[\frac1{a^3(b+c)}+\frac{a(b+c)}4]\geq\sum\frac1a$

故：

$\sum\frac1{a^3(b+c)}\geq\sum\frac1a-\sum\frac{ab}2$

$=\sum\frac1a-\sum\frac1{2c}=\sum\frac1{2a}\geq\frac12\times\frac3{\sqrt[3]{abc}}=\frac32$

证毕。