客博的ارمىتاشقۇل

已知$a,b,c\in R_+$，证明：

$\sum\frac{(a-b)^2}{ab}+\sum\frac ab\geq\sum\frac{3bc+ac-ab}{2ab+ac}$

考察不等式左边，有：

$\sum\frac{(a-b)^2}{ab}+\sum\frac ab=\sum(\frac{2a}b+\frac ba)-6$

考察不等式右边，有：

$\sum(\frac{3bc+ac-ab}{2ab+ac}+2)=\sum\frac{3(ab+bc+ca)}{2ab+ac}$

因此，证明题设中的不等式与证明下面的不等式等价：

$\sum(\frac{2a}b+\frac ba)\geq\sum\frac{3(ab+bc+ac)}{2ab+ac}$

注意到：

$(\frac ab+\frac ba+\frac ac)(ab+ab+ac)\geq(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ac)$

$\Rightarrow\frac ab+\frac ba+\frac ca\geq\frac{3(ab+bc+ac)}{2ab+ac}$

同理:

$\frac bc+\frac cb+\frac bc\geq\frac{3(ab+bc+ac)}{2ab+ac} , \frac ac+\frac ca+\frac bc\geq\frac{3(ab+bc+ac)}{2ab+ac}$

三式相加，有：

$\sum\frac{(a-b)^2}{ab}+\sum\frac ab\geq\sum\frac{3bc+ac-ab}{2ab+ac}$

设$a,b,c\in R_+,abc=1$证明：

$\sum\frac1{a^3(b+c)}\geq\frac32$

有：

$\sum[\frac1{a^3(b+c)}+\frac{a(b+c)}4]\geq\sum\frac1a$

故：

$\sum\frac1{a^3(b+c)}\geq\sum\frac1a-\sum\frac{ab}2$

$=\sum\frac1a-\sum\frac1{2c}=\sum\frac1{2a}\geq\frac12\times\frac3{\sqrt[3]{abc}}=\frac32$

证毕。