一个实用的四点共圆的定理的证明

若：

$PC\sin\alpha+PA\sin\beta=PB\sin(\alpha+\beta)$

则：$P,A,B,C$四点共圆。

联结$AC$，作$\triangle PAC$的外接圆$\odot O$。$\odot O$交射线$PB$与点$B'$。连$AB',B'C$。

设$\odot O$的半径为$R$，则：

$\left\{ \begin{aligned} AB' & = & 2R\sin\alpha \\ B'C & = & 2R\sin\beta \\ AC & = & 2R\sin(\alpha+\beta) \end{aligned} \right.$

在圆内接四边形$PAB'C$中，根据托勒密定理有：

$PC\cdot AB'+PA\cdot B'C=AC\cdot PB'$

故：

$PC\sin\alpha+PA\sin\beta=PB'\sin(\alpha+\beta)$

所以$PB'=PB$，点$B'$和点$B$重合。

因此，点$P,A,B,C$四点共圆。