一道三角恒等式题的证明

求证：

$\prod^7_{k=1}\cos\frac{k\pi}{15}=[\sum^2_{k=0}\cos\frac{(2k+1)\pi}7]^7$

(命题$567$)

先证明一个引理（命题$563$）：

$\prod^{n-1}_{i=0}(x^2-2x\cos\frac{i\pi}n+1)=\sum^n_{i=1}x^{2(n-i)}$

方程$x^{2n}-1=0$的根是:

$x_k=\cos\frac{k\pi}n+i\sin\frac{k\pi}n(k=0,1,2,\dots,2n-1)$

$\Rightarrow\prod^{2n-1}_{i=0}(x-x_i)\equiv x^{2n}-1$

注意到：

$\prod^{2n-1}_{i=0}(x-x_i)$

$=[(x-1)\prod^{n-1}_{k=1}(x-\cos\frac{k\pi}n-i\sin\frac{k\pi}n)][(x+1)\prod^{2n-1}_{k=n+1}(x-\cos\frac{k\pi}n-i\sin\frac{k\pi}n)]$

$=(x^2-1)\prod^{n-1}_{k=1}[(x-\cos\frac{k\pi}n)^2+\sin^2\frac{k\pi}n]$

$=(x^2-1)\prod^{n-1}_{k=1}(x^2-2x\cos\frac{k\pi}n+1)$

$x^{2n}-1=(x^2-1)\sum^n_{i=1}x^{2(n-i)}$

$\Rightarrow\prod^{n-1}_{i=1}(x^2-2x\cos\frac{i\pi}n+1)=\sum^n_{i=1}x^{2(n-i)}$

再证明一个基本的三角恒等式（命题$564$)：

由上一个引理：

$\prod^{n-1}_{i=1}(x^2-2x\cos\frac{i\pi}n+1)=\sum^n_{i=1}x^{2(n-i)}$

令$x=-1$，则有：

$\prod^n_{i=1}\cos\frac{i\pi}{2n+1}=\frac1{x^n}$

现在证明原命题：

由三角恒等式得：

$\prod^7_{k=1}\cos\frac{k\pi}{15}=\frac1{2^7}$

考察等式右边：

$\sum^2_{k=0}\cos\frac{(2k+1)\pi}7=\cos\frac\pi7+\cos\frac{3\pi}7+\cos\frac{5\pi}7$

$=-(\cos\frac{2\pi}7+\cos\frac{4\pi}7+\cos\frac{6\pi}7)$

$=-\frac{2\sin\frac\pi7\cos\frac{2\pi}7+2\sin\frac\pi7\cos\frac{4\pi}7+2\sin\frac\pi7\cos\frac{6\pi}7}{2\sin\frac\pi7}$

$=-\frac{\sin\frac{3\pi}7-\sin\frac\pi7+\sin\frac{5\pi}7-\sin\frac{3\pi}7+\sin\frac{7\pi}7-\sin\frac{5\pi}7}{2\sin\frac\pi7}$

$=-(-\frac12)=\frac12$

因为$\frac1{2^7}=(\frac12)^7$，所以命题得证。