一道出自第57届乌克兰数学奥林匹克竞赛(2017-10-8)的不等式证明

已知$a,b,c\in R_+$，证明：

$\sum\frac{(a-b)^2}{ab}+\sum\frac ab\geq\sum\frac{3bc+ac-ab}{2ab+ac}$

考察不等式左边，有：

$\sum\frac{(a-b)^2}{ab}+\sum\frac ab=\sum(\frac{2a}b+\frac ba)-6$

考察不等式右边，有：

$\sum(\frac{3bc+ac-ab}{2ab+ac}+2)=\sum\frac{3(ab+bc+ca)}{2ab+ac}$

因此，证明题设中的不等式与证明下面的不等式等价：

$\sum(\frac{2a}b+\frac ba)\geq\sum\frac{3(ab+bc+ac)}{2ab+ac}$

注意到：

$(\frac ab+\frac ba+\frac ac)(ab+ab+ac)\geq(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ac)$

$\Rightarrow\frac ab+\frac ba+\frac ca\geq\frac{3(ab+bc+ac)}{2ab+ac}$

同理:

$\frac bc+\frac cb+\frac bc\geq\frac{3(ab+bc+ac)}{2ab+ac} , \frac ac+\frac ca+\frac bc\geq\frac{3(ab+bc+ac)}{2ab+ac}$

三式相加，有：

$\sum\frac{(a-b)^2}{ab}+\sum\frac ab\geq\sum\frac{3bc+ac-ab}{2ab+ac}$