贝努利不等式的证明

贝努利不等式是数学中十分重要的不等式：

$1+\sum^n_{i=1}x_i<\prod^n_{i=1}(1+x_i)$

其中$n\geq2$，非零实数$x_1,x_2,\dots,x_n$均大于$-1$且同号。

证明：使用第一数学归纳法进行证明：

• 当$n=2$时：

  考察不等式左边：

  $1+\sum^2_{i=1}x_i=1+x_1+x_2$

  考察不等式右边：

  $\prod^2_{i=1}(1+x_i)=(1+x_1)(1+x_2)=1+x_1+x_2+x_1x_2$

  因为$x_1x_2>0$，所以当$n=2$时，不等式成立。

• 设当$n=k$时不等式成立，即：

  $1+\sum^k_{i=1}x_i<\prod^k_{i=1}(1+x_i)$

• 当$n=k+1$时：

  因为$1+x_{k+1}>0$所以有：

  $\prod^{k+1}_{i=1}(1+x_i)>(1+\sum^k_{i=1}x_i)(1+x_{k+1})$

  $=1+\sum^k_{i=1}x_i+(1+\sum^k_{i=1}x_i)x_{k+1}$

$=1+\sum^{k+1}_{i=1}x_i+(1+\sum^k_{i=1}x_i)x_{k+1}$

$>1+\sum^{k+1}_{i=1}x_i$

因此，当$n=k+1$时，命题成立。

综上，不等式获证。