一道三角恒等式的简单题

求证：（命题$351$）

$f(n)=\sum^{n-1}_{m=0}\sin(\theta+m\alpha)=\frac{\sin\frac{n\alpha}2}{\sin\frac\alpha2}\sin[\theta+\frac{(n-1)\alpha}2]$

使用第一数学归纳法进行证明：

• 当$n=1$时，命题显然成立。

• 设当$n=k$时，命题成立，即：

  ​

  $f(k)=\sum^{k-1}_{m=0}\sin(\theta+m\alpha)=\frac{\sin\frac{k\alpha}2}{\sin\frac\alpha2}\sin[\theta+\frac{(n-1)\alpha}2]$

• 当$n=k+1$时，有：

  $f(k+1)=f(k)+\sin(\theta+k\alpha)$

  观察$f(k+1)$，得到：

  $=\frac{\sin\frac{k\alpha}2}{\sin\frac\alpha2}\sin[\theta+\frac{(k-1)\alpha}2]+\sin(\theta+k\alpha)$

  $=\frac1{\sin\frac\alpha2}\{\sin\frac{k\alpha}2\sin[\theta+\frac{(k-1)\alpha}2]+\sin\frac\alpha2\sin(\theta+k\alpha)\}$

  $=\frac1{2\sin\frac\alpha2}\{[\cos(\theta-\frac\alpha2)-\cos(\theta+k\alpha-\frac\alpha2)]+[\cos(\theta+k\alpha-\frac\alpha2)-\cos(\theta+k\alpha+\frac\alpha2)]\}$

  $=\frac1{2\sin\frac\alpha2}[\cos(\theta-\frac\alpha2)-\cos(\theta+k\alpha+\frac\alpha2)]$

  $=\frac1{2\sin\frac\alpha2}\cdot2\sin(\theta+\frac{k\alpha}2)\sin\frac{(k+1)\alpha}2$

  $=\frac{\sin\frac{(k+1)\alpha}2}{\sin\frac\alpha2}\sin(\theta+\frac{k\alpha}2)$

  同理也可以证明：

  $g(n)=\sum^{n-1}_{m=0}\cos(\theta+m\alpha)=\frac{\sin\frac{n\alpha}2}{\sin\frac\alpha2}\cos[\theta+\frac{(n-1)\alpha}2]$

  ​