一个重要的三角形不等式的证明

在$\triangle ABC$中，有:

$\sum \sin A\leq\frac{3\sqrt3}2$

记$f(x)=\sin x$，则：

$\frac{df(x)}{dx}=\cos x\\\frac{d^2f(x)}{dx^2}=-\sin x$

故$\frac{d^2f(x)}{dx^2}<0$在$x\in(0,\pi)$上恒成立。

从而，在$x\in(0,\pi)$上$f(x)$为凸函数。

由琴生不等式得：

$\frac{f(A)+f(B)+f(C)}{3}\leq f(\frac{A+B+C}3)$

故$\sum\sin A\leq\frac{3\sqrt3}2$