用三角函数诱导公式解一道联考题

已知点$A=(0,4),B=(0,-6)$，$C$为$x$轴正半轴上一点，且满足$\angle ACB=45^\circ$，则点$C$的坐标为？

（乐清六校理科班第一次联考，5018.9.28）

在平面直角坐标系$xOy$中，设$C=(x,0)$,$\angle ACO=\alpha$，$\angle BCO=\beta$：

$\left\{ \begin{aligned} \tan\alpha=\frac4x\\ \tan\beta=\frac6x \end{aligned} \right.$

由三角函数的诱导公式知：

$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} =\frac{\frac{10}x}{1-\frac{24}{x^2}} =\frac{10x}{x^2-24} =1$

$\Leftrightarrow x^2-10x-24=0\\ \Leftrightarrow (x=-2)\vee(x=12)$

因为点$C$在$x$轴正半轴上，舍去$x=-2$。

故$C=(12,0)$。