解一道日本赛题

平太给大介出了一道计算题（$A$，$B$各代表两位数中各位上的数字，相同的字母代表相同的数字）：

$\overline{AB}\times\overline{BA}=$

大介：“得数是$2872$。”

平太：“不对。”

大介：“个位的数字对吗？”

平太：“对。”

大介：“其他数位的数字有对的吗？”

平太：“这是保密的。但你调换一下四位数$2872$中$4$个数的位置，就能得出正确答案。”

请求出正确答案。

（第$13$届日本数学奥林匹克决赛）

因为个位数为$2$，所以$B\times A$只能是：

• $1\times2$
• $2\times6$
• $3\times4$
• $4\times8$
• $6\times7$
• $8\times9$

一一带入检验，得：

$\left\{ \begin{aligned} 12\times21=252\\ 26\times62=1612\\ 34\times43=1462\\ 48\times84=4032\\ 67\times76=5092\\ 89\times98=8722 \end{aligned} \right.$

注意到只有$8722$与$2872$的构成数字完全相同。

故正确答案为$8722$。