利用偏导数工具解一类最值问题

已知$x,y,z\in R,x+y+z=1$，求$M=xy+2yz+3xz$的最大值

$x+y+z=1\Leftrightarrow z=1-x-y\\ \Rightarrow M=f(x,y)=xy+2y(1-x-y)+3x(1-x-y)\\ =-3x^2-xy^2-4xy+3x+2y$

求$f(x,y)$的偏导数：

$\left\{ \begin{aligned} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=-6x-4y+3\\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=-4x-4y+2 \end{aligned} \right.$

由费马定理，联立方程组：

$\left\{ \begin{aligned} -6x-4y+3=0\\ -4x-4y+2=0 \end{aligned} \right.$

解得：

$\left\{ \begin{aligned} x=\frac12\\ y=0 \end{aligned} \right.$

故$z=\frac12$。故$M$有最大值$\frac34$。

在初中阶段，往往不需要考虑多元函数是否有最值，但在后期的学习中却往往需要考虑。

传统的方法：

$M=-3x^2-2y^2-4xy+3x+2y\\ =-2[y^2+2(x-\frac12)y+(x-\frac12)^2]-3x^2+3x+2(x-\frac12)^2\\ =-2(x+y-\frac12)^2-x^2+x+\frac12\\ =-2(x+y+\frac12)^2-(x-\frac12)^2+\frac34\leq\frac34$

当且仅当$x=\frac12,y=0$，时，不等式取等号。故$M$有最大值$\frac34$。