求证：（命题$351$）

$f(n)=\sum^{n-1}_{m=0}\sin(\theta+m\alpha)=\frac{\sin\frac{n\alpha}2}{\sin\frac\alpha2}\sin[\theta+\frac{(n-1)\alpha}2]$

使用第一数学归纳法进行证明：

• 当$n=1$时，命题显然成立。

• 设当$n=k$时，命题成立，即：

  ​

  $f(k)=\sum^{k-1}_{m=0}\sin(\theta+m\alpha)=\frac{\sin\frac{k\alpha}2}{\sin\frac\alpha2}\sin[\theta+\frac{(n-1)\alpha}2]$

• 当$n=k+1$时，有：

  $f(k+1)=f(k)+\sin(\theta+k\alpha)$

  观察$f(k+1)$，得到：

  $=\frac{\sin\frac{k\alpha}2}{\sin\frac\alpha2}\sin[\theta+\frac{(k-1)\alpha}2]+\sin(\theta+k\alpha)$

  $=\frac1{\sin\frac\alpha2}\{\sin\frac{k\alpha}2\sin[\theta+\frac{(k-1)\alpha}2]+\sin\frac\alpha2\sin(\theta+k\alpha)\}$

  $=\frac1{2\sin\frac\alpha2}\{[\cos(\theta-\frac\alpha2)-\cos(\theta+k\alpha-\frac\alpha2)]+[\cos(\theta+k\alpha-\frac\alpha2)-\cos(\theta+k\alpha+\frac\alpha2)]\}$

  $=\frac1{2\sin\frac\alpha2}[\cos(\theta-\frac\alpha2)-\cos(\theta+k\alpha+\frac\alpha2)]$

  $=\frac1{2\sin\frac\alpha2}\cdot2\sin(\theta+\frac{k\alpha}2)\sin\frac{(k+1)\alpha}2$

  $=\frac{\sin\frac{(k+1)\alpha}2}{\sin\frac\alpha2}\sin(\theta+\frac{k\alpha}2)$

  同理也可以证明：

  $g(n)=\sum^{n-1}_{m=0}\cos(\theta+m\alpha)=\frac{\sin\frac{n\alpha}2}{\sin\frac\alpha2}\cos[\theta+\frac{(n-1)\alpha}2]$

  ​

贝努利不等式是数学中十分重要的不等式：

$1+\sum^n_{i=1}x_i<\prod^n_{i=1}(1+x_i)$

其中$n\geq2$，非零实数$x_1,x_2,\dots,x_n$均大于$-1$且同号。

证明：使用第一数学归纳法进行证明：

• 当$n=2$时：

  考察不等式左边：

  $1+\sum^2_{i=1}x_i=1+x_1+x_2$

  考察不等式右边：

  $\prod^2_{i=1}(1+x_i)=(1+x_1)(1+x_2)=1+x_1+x_2+x_1x_2$

  因为$x_1x_2>0$，所以当$n=2$时，不等式成立。

• 设当$n=k$时不等式成立，即：

  $1+\sum^k_{i=1}x_i<\prod^k_{i=1}(1+x_i)$

• 当$n=k+1$时：

  因为$1+x_{k+1}>0$所以有：

  $\prod^{k+1}_{i=1}(1+x_i)>(1+\sum^k_{i=1}x_i)(1+x_{k+1})$

  $=1+\sum^k_{i=1}x_i+(1+\sum^k_{i=1}x_i)x_{k+1}$

$=1+\sum^{k+1}_{i=1}x_i+(1+\sum^k_{i=1}x_i)x_{k+1}$

$>1+\sum^{k+1}_{i=1}x_i$

因此，当$n=k+1$时，命题成立。

综上，不等式获证。

求证：

$\prod^7_{k=1}\cos\frac{k\pi}{15}=[\sum^2_{k=0}\cos\frac{(2k+1)\pi}7]^7$

(命题$567$)

先证明一个引理（命题$563$）：

$\prod^{n-1}_{i=0}(x^2-2x\cos\frac{i\pi}n+1)=\sum^n_{i=1}x^{2(n-i)}$

方程$x^{2n}-1=0$的根是:

$x_k=\cos\frac{k\pi}n+i\sin\frac{k\pi}n(k=0,1,2,\dots,2n-1)$

$\Rightarrow\prod^{2n-1}_{i=0}(x-x_i)\equiv x^{2n}-1$

注意到：

$\prod^{2n-1}_{i=0}(x-x_i)$

$=[(x-1)\prod^{n-1}_{k=1}(x-\cos\frac{k\pi}n-i\sin\frac{k\pi}n)][(x+1)\prod^{2n-1}_{k=n+1}(x-\cos\frac{k\pi}n-i\sin\frac{k\pi}n)]$

$=(x^2-1)\prod^{n-1}_{k=1}[(x-\cos\frac{k\pi}n)^2+\sin^2\frac{k\pi}n]$

$=(x^2-1)\prod^{n-1}_{k=1}(x^2-2x\cos\frac{k\pi}n+1)$

$x^{2n}-1=(x^2-1)\sum^n_{i=1}x^{2(n-i)}$

$\Rightarrow\prod^{n-1}_{i=1}(x^2-2x\cos\frac{i\pi}n+1)=\sum^n_{i=1}x^{2(n-i)}$

再证明一个基本的三角恒等式（命题$564$)：

由上一个引理：

$\prod^{n-1}_{i=1}(x^2-2x\cos\frac{i\pi}n+1)=\sum^n_{i=1}x^{2(n-i)}$

令$x=-1$，则有：

$\prod^n_{i=1}\cos\frac{i\pi}{2n+1}=\frac1{x^n}$

现在证明原命题：

由三角恒等式得：

$\prod^7_{k=1}\cos\frac{k\pi}{15}=\frac1{2^7}$

考察等式右边：

$\sum^2_{k=0}\cos\frac{(2k+1)\pi}7=\cos\frac\pi7+\cos\frac{3\pi}7+\cos\frac{5\pi}7$

$=-(\cos\frac{2\pi}7+\cos\frac{4\pi}7+\cos\frac{6\pi}7)$

$=-\frac{2\sin\frac\pi7\cos\frac{2\pi}7+2\sin\frac\pi7\cos\frac{4\pi}7+2\sin\frac\pi7\cos\frac{6\pi}7}{2\sin\frac\pi7}$

$=-\frac{\sin\frac{3\pi}7-\sin\frac\pi7+\sin\frac{5\pi}7-\sin\frac{3\pi}7+\sin\frac{7\pi}7-\sin\frac{5\pi}7}{2\sin\frac\pi7}$

$=-(-\frac12)=\frac12$

因为$\frac1{2^7}=(\frac12)^7$，所以命题得证。

若：

$PC\sin\alpha+PA\sin\beta=PB\sin(\alpha+\beta)$

则：$P,A,B,C$四点共圆。

联结$AC$，作$\triangle PAC$的外接圆$\odot O$。$\odot O$交射线$PB$与点$B'$。连$AB',B'C$。

设$\odot O$的半径为$R$，则：

$\left\{ \begin{aligned} AB' & = & 2R\sin\alpha \\ B'C & = & 2R\sin\beta \\ AC & = & 2R\sin(\alpha+\beta) \end{aligned} \right.$

在圆内接四边形$PAB'C$中，根据托勒密定理有：

$PC\cdot AB'+PA\cdot B'C=AC\cdot PB'$

故：

$PC\sin\alpha+PA\sin\beta=PB'\sin(\alpha+\beta)$

所以$PB'=PB$，点$B'$和点$B$重合。

因此，点$P,A,B,C$四点共圆。

已知$a,b,c\in R_+$，证明：

$\sum\frac{(a-b)^2}{ab}+\sum\frac ab\geq\sum\frac{3bc+ac-ab}{2ab+ac}$

考察不等式左边，有：

$\sum\frac{(a-b)^2}{ab}+\sum\frac ab=\sum(\frac{2a}b+\frac ba)-6$

考察不等式右边，有：

$\sum(\frac{3bc+ac-ab}{2ab+ac}+2)=\sum\frac{3(ab+bc+ca)}{2ab+ac}$

因此，证明题设中的不等式与证明下面的不等式等价：

$\sum(\frac{2a}b+\frac ba)\geq\sum\frac{3(ab+bc+ac)}{2ab+ac}$

注意到：

$(\frac ab+\frac ba+\frac ac)(ab+ab+ac)\geq(a+b+c)^2\geq3(ab+bc+ac)$

$\Rightarrow\frac ab+\frac ba+\frac ca\geq\frac{3(ab+bc+ac)}{2ab+ac}$

同理:

$\frac bc+\frac cb+\frac bc\geq\frac{3(ab+bc+ac)}{2ab+ac} , \frac ac+\frac ca+\frac bc\geq\frac{3(ab+bc+ac)}{2ab+ac}$

三式相加，有：

$\sum\frac{(a-b)^2}{ab}+\sum\frac ab\geq\sum\frac{3bc+ac-ab}{2ab+ac}$

设$a,b,c\in R_+,abc=1$证明：

$\sum\frac1{a^3(b+c)}\geq\frac32$

有：

$\sum[\frac1{a^3(b+c)}+\frac{a(b+c)}4]\geq\sum\frac1a$

故：

$\sum\frac1{a^3(b+c)}\geq\sum\frac1a-\sum\frac{ab}2$

$=\sum\frac1a-\sum\frac1{2c}=\sum\frac1{2a}\geq\frac12\times\frac3{\sqrt[3]{abc}}=\frac32$

证毕。

写在前面的话

这是一个讲话的提纲，因此是不太完整的。对于这次讲话，我秉持的原则是：

打主意，对的多，错的少一点，就行了。不要总是以为自己对，好像真理都在自己手里。——毛泽东

因此我希望大家可以多多讨论，让我们一起来完善这个东西。

本提纲内的数据全由附录中的程序生成，可能不太科学，还请大家谅解。

我们更要广开言路，打开窗户，不要怕打开窗户可能吹进沙子来。进来一点尘土，坏处有一点，但并不大，而开窗户透空气的利益却很大，我们要从这种利害关系上，看这个问题。——毛泽东

版权说明

本提纲的全部内容在 CC BY-SA 4.0-署名-相同方式共享 4.0协议之条款下提供，附加条款亦可能应用。

班级心情值统计方法

心情状态的规定

为了使得统计顺利进行，我们规定下面三种心情状态：

• 开心（符号 $\checkmark$）
• 一般（符号$\bigcirc$）
• 不好（符号$\times$）

统计方法

建议使用普查的统计方法。心理委员应当向班级管理机构索要班级同学的名单（成绩单），然后一一进行统计。

统计时，应当对样本进行询问：

你今天开心吗？

得到回答后，迅速辨别回答属于哪一个心情状态。如果样本的回答十分含糊，应当告知心情状态的分类，使其自己选择。

当样本在接受调查时出现异常表现时，应当注意。

关于抽样调查

抽样调查不被推荐。但是我们需要了解一下如何科学地使用抽样调查来获取班级同学的心情状态。

首先，先选定样本数量。假设下面是某班的人数：

$\left\{ \begin{aligned} \text{男生} & = & 19 \\ \text{女生} & = & 25 \\ \text{总人数} & = & 44 \end{aligned} \right.$

那么我们可以选择统计$12$个男生，$15$个女生。在空间上，还应该注意样本的分布应当满足尽可能的离散性。

关于心情状态统计结果的整理

假如我们统计到了下面的数据：

我们需要计算的数据有：

• 比值

应当分别为每一组计算每一项所占的比值（保留两位小数）：

如果条件允许，还可以画一个蛋糕来直观地体现班级心情状态的分布情况：

同理，也可以绘制男生女生的心情状态分布情况的蛋糕：

心情值的计算方法

为了计算心情值，我们赋予三种心情状态以不同的权值：

• 开心（符号 $\checkmark$）：$2$
• 一般（符号$\bigcirc$）：$1$
• 不好（符号$\times$）： $0$

我们赋予心情值以一定的数学意义。从某种程度上来说，所谓心情值就是数学期望。

依然以上面的那个统计结果为例：

那么，我们可以根据心情值的计算公式：

$E=\frac{\sum^{|a|}_{i=0}a_id_i}{|a|}$

计算得：

$\left\{ \begin{aligned} E_\text{男生} & = & \frac{16\times2+9\times1+13\times0}{38}\approx1.08 \\ E_\text{女生} & = & \frac{3\times2+1\times1+2\times0}{6}\approx1.17 \\ E_\text{总} & = & \frac{19\times2+10\times1+15\times0}{44}\approx1.09 \end{aligned} \right.$

追踪性质的数据观察

依然使用心情值的概念来考察样本的心情状态。假设某同学的历次统计情况是这样的：

$\checkmark,\checkmark,\checkmark,\times,\checkmark$

那么计算他的心情值为：$E=\frac{4\times2+1\times0}5=1.6$

再使用方差来考察样本的心情状态的稳定程度：

$S^2=\frac15[(2-1.6)^2+(2-1.6)^2+(2-1.6)^2+(0-1.6)^2+(2-1.6)^2]=3.2$

大数据的宏观标准

办公室应当在一定的时间内计算出全校的心情值状况。这个心情值将被作为标准进行使用。

例如，有三个班级的心情值结果是这样的：

那么，我们可以计算$\bar E_\text{总}$:

$\bar E_\text{总}=\frac{1.09+0.95+0.97}3\approx1.00$

因为$E_1>\bar E$，所以一班的心情水平超过平均水平——意味着一班同学的总体心情状态良好。

反之，$E_2,E_3<\bar E$，因此这两个班级的心情水平较差。

同理，我们也可以计算$$\bar E_\text{男生}$$和$\bar E_\text{女生}$。

长期的数据整理

办公室应当做好数据的整理工作。建议以一星期为一个基本测评周期，即每周计算一次$\bar E$（三组）。

为了使数据更加可信，建议使用下面的整理方法：

首先，记录下该组新数据的第$k$组数据。

那么:

$\bar E_{new}=\frac{\bar E \times (k-1)+E}k$

办公室应当使用数据库技术对我校学生心情值数据进行长期的维护。

下面是统计图的示范：

统计分为下面几种统计：

• 周阶段统计
• 月阶段统计
• 年阶段统计

附录

心情值样例数据生成

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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <string.h>
void fixed(double&,double&,double&); 
int main(void)
{
	system("title Random v1.0.0(dev.milarodvia.macrohard[github[x]])");
	srand(time(NULL));
	int n;
	printf("Please enter a statistical sample size:");
	scanf("%d",&n);
	int gn=rand()%(n/2)+1,bn=n-gn;
	int b[bn],g[gn],c[3]={0},bc[3]={0},gc[3]={0};
	memset(b,0,bn);
	memset(g,0,gn);
	//!Warning!:If the array `int c[]`,'int bc[]` and 'int gc[]` is not set to 0, then an irreversible data error will occur!
	//c[0] stands for "statistics with a weight of 0", and the rest is the same.
	puts("Prepare for data generation(for boy group)... ...");
	_sleep(100);//sleep for a while.
	for(int i=0;i<bn;++i)//range(i,gn)
	{
		printf("Generating Group %d data... ...\n",i+1);
		++c[b[i]=rand()%3];
		++bc[b[i]];
		printf("[%d|boy|(c[b[i]]=%d)]:%d.\n",i+1,c[b[i]],b[i]);		
	}
	puts("Prepare for data generation(for boy group)... ...");
	_sleep(100);//sleep for a while.
	for(int i=0;i<gn;++i)//range(i,gn)
	{
		printf("Generating Group %d data... ...\n",i+1);
		++c[g[i]=rand()%3];
		++gc[g[i]];
		printf("[%d|girl|(c[g[i]]=%d)]:%d.\n",i+1,c[g[i]],g[i]);
	}
	puts("done.");
	puts("Prepare to calculate parameters... ...");
	_sleep(100);//sleep for a while.
	double d0,d1,d2;
	d0=c[0]*1.0/n*1.0;
	d1=c[1]*1.0/n*1.0;
	d2=c[2]*1.0/n*1.0;
	fixed(d0,d1,d2);
	puts("The overall mood state distribution of whole class:");
	printf("%d|d0=%.4lf\t%d|d1=%.4lf\t%d|d2=%.4lf\n",c[0],d0,c[1],d1,c[2],d2);
	//printf("The mood value of whole class:%.4lf\n",(c[2]*2+c[1])/n*1.0);
	d0=bc[0]*1.0/bn;
	d1=bc[1]*1.0/bn;
	d2=bc[2]*1.0/bn;
	fixed(d0,d1,d2);
	printf("The overall mood state distribution of %d boys:\n",bn);
	printf("%d|d0=%.4lf\t%d|d1=%.4lf\t%d|d2=%.4lf\n",bc[0],d0,b[1],d1,bc[2],d2);
	//printf("The mood value of boys:%.4lf\n",(bc[2]*2+bc[1])/bn*1.0);
	d0=gc[0]*1.0/gn;
	d1=gc[1]*1.0/gn;
	d2=gc[2]*1.0/gn;
	fixed(d0,d1,d2);
	printf("The overall mood state distribution of %d girls:\n",gn);
	printf("%d|d0=%.4lf\t%d|d1=%.4lf\t%d|d2=%.4lf\n",gc[0],d0,gc[1],d1,gc[2],d2);
	//printf("The mood value of girls:%.4lf\n",(gc[2]*2+gc[1])/gn*1.0);
	return 0;
}
void fixed(double& d0,double& d1,double& d2)
{
	const double s=1.0; //the standard.
	char buf[32]; //the buffer
	sprintf(buf,"%.4lf %.4lf %.4lf",d0,d1,d2);
	sscanf(buf,"%lf%lf%lf",&d0,&d1,&d2);
	double t=d0+d1+d2;
	if(t==s)return;
	if(t<s)d1+=(s-t); //try to fix the bad data
	else d1-=(t-s); //another way to fix the bad data
	return; 
}

数据样例

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Please enter a statistical sample size:44
Prepare for data generation(for boy group)... ...
Generating Group 1 data... ...
[1|boy|(c[b[i]]=1)]:0.
Generating Group 2 data... ...
[2|boy|(c[b[i]]=1)]:2.
Generating Group 3 data... ...
[3|boy|(c[b[i]]=1)]:1.
Generating Group 4 data... ...
[4|boy|(c[b[i]]=2)]:0.
Generating Group 5 data... ...
[5|boy|(c[b[i]]=2)]:2.
Generating Group 6 data... ...
[6|boy|(c[b[i]]=3)]:0.
Generating Group 7 data... ...
[7|boy|(c[b[i]]=3)]:2.
Generating Group 8 data... ...
[8|boy|(c[b[i]]=2)]:1.
Generating Group 9 data... ...
[9|boy|(c[b[i]]=4)]:0.
Generating Group 10 data... ...
[10|boy|(c[b[i]]=3)]:1.
Generating Group 11 data... ...
[11|boy|(c[b[i]]=4)]:1.
Generating Group 12 data... ...
[12|boy|(c[b[i]]=4)]:2.
Generating Group 13 data... ...
[13|boy|(c[b[i]]=5)]:2.
Generating Group 14 data... ...
[14|boy|(c[b[i]]=6)]:2.
Generating Group 15 data... ...
[15|boy|(c[b[i]]=7)]:2.
Generating Group 16 data... ...
[16|boy|(c[b[i]]=5)]:0.
Generating Group 17 data... ...
[17|boy|(c[b[i]]=5)]:1.
Generating Group 18 data... ...
[18|boy|(c[b[i]]=6)]:0.
Generating Group 19 data... ...
[19|boy|(c[b[i]]=7)]:0.
Generating Group 20 data... ...
[20|boy|(c[b[i]]=6)]:1.
Generating Group 21 data... ...
[21|boy|(c[b[i]]=8)]:0.
Generating Group 22 data... ...
[22|boy|(c[b[i]]=9)]:0.
Generating Group 23 data... ...
[23|boy|(c[b[i]]=8)]:2.
Generating Group 24 data... ...
[24|boy|(c[b[i]]=7)]:1.
Generating Group 25 data... ...
[25|boy|(c[b[i]]=9)]:2.
Generating Group 26 data... ...
[26|boy|(c[b[i]]=10)]:2.
Generating Group 27 data... ...
[27|boy|(c[b[i]]=11)]:2.
Generating Group 28 data... ...
[28|boy|(c[b[i]]=10)]:0.
Generating Group 29 data... ...
[29|boy|(c[b[i]]=11)]:0.
Generating Group 30 data... ...
[30|boy|(c[b[i]]=12)]:0.
Generating Group 31 data... ...
[31|boy|(c[b[i]]=13)]:0.
Generating Group 32 data... ...
[32|boy|(c[b[i]]=14)]:0.
Generating Group 33 data... ...
[33|boy|(c[b[i]]=8)]:1.
Generating Group 34 data... ...
[34|boy|(c[b[i]]=12)]:2.
Generating Group 35 data... ...
[35|boy|(c[b[i]]=13)]:2.
Generating Group 36 data... ...
[36|boy|(c[b[i]]=9)]:1.
Generating Group 37 data... ...
[37|boy|(c[b[i]]=15)]:0.
Generating Group 38 data... ...
[38|boy|(c[b[i]]=16)]:0.
Prepare for data generation(for boy group)... ...
Generating Group 1 data... ...
[1|girl|(c[g[i]]=10)]:1.
Generating Group 2 data... ...
[2|girl|(c[g[i]]=14)]:2.
Generating Group 3 data... ...
[3|girl|(c[g[i]]=17)]:0.
Generating Group 4 data... ...
[4|girl|(c[g[i]]=15)]:2.
Generating Group 5 data... ...
[5|girl|(c[g[i]]=18)]:0.
Generating Group 6 data... ...
[6|girl|(c[g[i]]=19)]:0.
done.
Prepare to calculate parameters... ...
The overall mood state distribution of whole class:
19|d0=0.4318    10|d1=0.2273    15|d2=0.3409
The overall mood state distribution of 38 boys:
16|d0=0.4211    2|d1=0.2368     13|d2=0.3421
The overall mood state distribution of 6 girls:
3|d0=0.5000     1|d1=0.1667     2|d2=0.3333

建议使用新的表格

在资本主义世界之中，劳动生产有着许多奇怪的特点。众所周知，这种生产是以拥有生产资料的资本家与除劳动力外一无所有的无产者所主导的。那么，在这种充斥着整个资本主义世界的劳动生产模式之中，有着什么样的秘密呢？

我们先来看看，这种生产所产出的东西是什么：汽车，铅笔，面包……总之，是商品。**商品是一种可以满足人的某种欲望的物体。**这种欲望的性质如何，例如是由胃产生的还是由幻想产生的，与问题是无关的。欲望包含着需要，这是精神的食欲，就像肉体的饥饿一样自然。这种满足欲望的方式如何，例如是作为生活资料，即消费品来直接满足或是作为生产资料来间接满足，与问题也是无关的。

**每一种有用的物体，如面包，衣服等等，是许多属性的总和，因此可以被应用在很多不同的方面。**列如衣服既可以用来保暖御寒，也可以被当做燃料烧掉。发现这些属性，从而发现物体的多种使用方式，是历史的事情，我们不关心这一过程。

**物体的有用性使物体成为使用价值。**但这种使用价值是取决于商品本身的属性的，离开了具体的商品就不存在。所以，**商品本身就是使用价值，财物。**在考虑使用价值时，我们常常要以量为前提，因为一顿铁比铁要更有意义。

一切生产活动都是生产资料和劳动力的结合，因此，资本家若是想进行生产，就必须支付生产资料的价值与劳动力的价值。生产资料的价值，体现为为生产生产资料所累积耗费的劳动力的死的价值。而劳动力的价值则体现在维持劳动力再生所需的生活资料的最低额。

结合商品来看，生产过程中消耗的生产资料的价值与商品价值中生产资料的部分的价值是固定的，不变的。而劳动力体创造出的，固化在商品价值中的价值却是活的，可变的。也就是说，由劳动创造出来的价值和生产过程中耗费的劳动力的价值可以不对等。马克思主义政治经济学将这一多出的价值部分称为剩余价值。

举一个例子。假设一批商品值$5000$元，其中含生产资料部分$3000$元和劳动力部分$2000$元。不过，在工作的这一段时间内，维持工人的基本生活却只要价值$1200$元的生活资料。这$800$元的剩余价值也正是资本家所谓利润的来源。

剩余价值是工人创造的。而资本家却凭借着对生产资料的占有而无偿占有了这一部分。这样的无偿占有也就是马克思主义语境下的剥削。

反应在现实中，占有各类企业的资本家越来越富，他们挥金如土，享用着各种社会优质资源；而以出卖劳动力为生的工人却相对越来越穷，他们只能拿着微薄的工资勉强维生。先不说这种无偿占有是否公平合理——讲人道主义尽管慷慨激昂，却缺乏实际作用。让我们来一起分析一下这种无偿占有所导致的一般性的结果。

经济是社会的基础。在资本主义市场中，卖家的主体是资本家，而买家的主体则是工人。但是，工人们拿着被剥削后的工资，显然是不能买下市场上所有的商品的。资本家为了进行下一轮生产，也不可能将所有的货币用于购买商品。这样，市场上必然会有大量的商品无法转换为货币，我们称之为过剩商品。这时候的情况，就是购买力与生产力的不平衡，也就是说，生产力过剩了。

在实际的生产活动中，资本家对剩余价值的占有虽然算不上是什么损失，但是生产资料和劳动力的价值确实真真切切地损失掉了。因此，资本主义生产越是进行，也就有越来越多的商品无法得到消费，越来越多的价值被浪费。这个恶性循环周而复始，所导致的必然后果就是：经济危机。

在经济危机中，企业破产倒闭，大量失业工人被抛向街头，到处都是经济崩溃的悲惨景象。自十九世纪初英国第一次经济危机后，这样的经济危机已经愈演愈烈重复了数十次。这个周期至今还在运转。更糟糕的是，随着资本主义世界市场的建立与发展，经济危机危害的不仅仅是单个资本主义国家，甚至还会危及到整个资本主义世界。

面对着这种危及社会全领域的毁灭性的灾难，资产阶级用什么办法来克服这种危机呢？一方面不得不消灭大量生产力，另一方面夺取新的市场，或更加彻底地利用旧的市场。这究竟是怎样的一种办法呢？这不过是资产阶级准备更全面更猛烈的危机的办法，不过是使防止危机的手段越来越少的办法。

面对经济危机，资本家宁愿把商品销毁掉也不愿让出自己无偿占有的剩余价值。

面对资本主义社会，各色改良主义喋喋不休，而马克思主义却道出了最根本的问题：**生产的社会化和生产资料的私人占有是资本主义社会的根本矛盾。**这种矛盾所带来的，出来经济危机，还有资本主义社会的必然灭亡与社会主义革命的必然胜利。

资产阶级的必然灭亡与无产阶级的必然胜利这一论点已经超出了本文的讨论范围，笔者将在《为什么说英特纳雄耐尔就一定要实现》中论述。

全世界无产者，联合起来！

——献给伟大的无产阶级战士王鹏一同志

使用了Java中的BigDecimal来进行高精度计算，下面是代码：（Java党的福利qwq）：

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import java.util.Scanner;
import java.math.BigInteger;
import java.math.BigDecimal;
import java.text.DecimalFormat;
class Main {
    public static  void main(String[] args)throws Exception
    {
        Scanner input = new Scanner(System.in);
        while(input.hasNext())
        {
            BigDecimal a= input.nextBigDecimal();
            BigDecimal b=input.nextBigDecimal();
            BigDecimal c= a.add(b);
            BigDecimal d= c.stripTrailingZeros();
            String s;
            s=d.toPlainString();
            System.out.println(s);
        }
        input.close();
    }
}

这是一道很考验数学素质的一道题目。但是作为一名优秀每天划水的OIer，这道题是不难的。来看我的分析：

因为数字很大，因此我们可以求以$10$为底的对数:$lgv=lg(x^{M+1}-1)-(M+) \times lg2+(2^E-1) \times lg2=lgA+B$。

根据题意可以推算出最大值$v_max=(1-\frac{1}{2^{M+1} })\times 2^{ {2^E}-1}=A\times 10^B$。

然后我们遍历所有可能的$M$，根据上面推导出来的公式求$E$的值，然后再利用$E$和$M$求出$lgv$和输入的值进行比较，如果相等，说明$M$和$E$就是所求的值。做两个浮点数相等判断的时候，我们需要设置一个误差常量$eps$,具体大小要根据具体的题目来定。

完整的程序(c++11)如下：

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double EPS=1e-6;
int main(void)
{
	char line[256];
	double lg2=log10(2),a,v;
	int b;
	while(scanf("%s",line)==1&&strcmp(line,"0e0")!=0)
	{
		*strchr(line,'e')=' ';
		sscanf(line,"%lf%d",&a,&b);
		v=log10(a)+b;
		for(int m=1;m<=10;++m)
		{
			int mhe=round(log10((v+m*lg2-log10(pow(2,m)-1))/lg2+1)/lg2);
			if(fabs(((1<<mhe)-1)*lg2+log10(pow(2,m)-1)-m*lg2-v)<=EPS)
			{
				printf("%d %d\n",m-1,mhe);
				break;
			}
		}
	}
	return 0;
}